Schwierigkeitsstufe
Thema:

Teilbarkeit

Inhalt:

Größter gemeinsamer Teiler

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Primfaktorzerlegung

Primzahlen

Teilbarkeit durch 10

Teilbarkeit durch 2

Teilbarkeit durch 25

Teilbarkeit durch 3

Teilbarkeit durch 4

Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 6

Teilbarkeit durch 9

Teilbarkeitsregeln

Teiler und Vielfache

Vielfachmenge

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Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Rest bei einer Division

48 : 6 = 8

48 = 6 . 8

a : b = c

a = b . c

48 : 5 = 9 Rest 3

48 = 5 . 9 + 3

a : b = c Rest d

a = b . c + d (wobei d<b)

Teiler und Vielfache

Genau dann, wenn die Division zweier natürlicher Zahlen a : b den Rest 0 hat, sagt man:

"a ist ein Vielfaches von b"

oder

"a ist durch b teilbar"

"b ist ein Teiler von a"

oder

"b ist in a enthalten"

Teiler von 60:

60 = 1 · 60         = 2 · 30         = 3 · 20         = 4 · 15         = 5 · 12         = 6 · 10;  

Die Teilermenge einer Zahl enthält alle ihre Teiler.

T60 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }

Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 2 teilbar,

wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, 

wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar,
wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar,
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).

Eine Zahl ist durch 8 teilbar,
wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar,
wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 12 teilbar,
wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 15 teilbar,
wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 18 teilbar,
wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 20 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 0 und ihre vorletzte Stelle gerade ist.  

Teilbarkeit durch 11: (alternierende Quersumme bilden)

1595:

5+5=10;   1+9=10;   10=10

⇒ 1595 ist durch 11 teilbar

108641973:

3+9+4+8+1=25;   7+1+6+0=14;   25-14=11

⇒ 108641973 ist durch 11 teilbar

1459:

9+4=13;   5+1=6;   6≠13

⇒ 1459 ist nicht durch 11 teilbar

Primzahlen

Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...

Primfaktorzerlegung

Primfaktordarstellung

Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Bsp:   60 = 6 ⋅10 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5    ergibt die  

Primfaktorzerlegung:   60 = 22 · 3 · 5

Primfaktorzerlegung von 360

360

= 2 · 180

 

= 2 · 2 · 90

 

= 2 · 2 · 2 · 45

 

= 2 · 2 · 2 · 3 · 15

 

= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

Größter gemeinsamer Teiler

ggT - grösster gemeinsamer Teiler

Beispiel: ggT(462,630) = ?

Primfaktorzerlegungen:

462 = 2 · 3 · 7 · 11 = 2 · 3 · 7 · 11

630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7

ggT(462,630) = 2 · 3 · 7 = 42

Der ggT von natürlichen Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.

Ist der ggT zweier Zahlen 1, so heißen sie teilerfremd.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

kgV - kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel: kgV(540,1320) = ?

Primfaktorzerlegungen:

540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 · 33 · 5

1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 = 23 · 3 · 5 · 11

kgV(540,1320) = 23 · 33 · 5 · 11 = 11 880

Das kgV von natürlichen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.

Teilbarkeit

Größter gemeinsamer Teiler

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Primfaktorzerlegung

Primzahlen

Teilbarkeit durch 10

Teilbarkeit durch 2

Teilbarkeit durch 25

Teilbarkeit durch 3

Teilbarkeit durch 4

Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 6

Teilbarkeit durch 9

Teilbarkeitsregeln

Teiler und Vielfache

Vielfachmenge

Beispielfragen:

Welche der folgenden Zahlen gehört zu den Primfaktoren der Zahl 12?

Schau dir das Lernvideo zum größten gemeinsamen Teiler (ggT) an.

Welche Vielfachmenge ist angegeben?

Gib die richtige Zahl an. Die Primfaktoren lauten:
2, 2, 3, 5

Welche einstelligen Zahlen sind Primzahlen ?

Welche Zahlen sind Teiler von 2345?

Klicke alle Zahlen an, die durch 3 teilbar sind:

Wähle alle Zahlen aus, die durch 2 teilbar sind:

Notiere die ersten vier Zahlen der Vielfachmenge!
V101 = { ______ , ______ , ______ , ______ , … }

Eine Zahl die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist eine Primzahl.

Welche Ziffer muss ich einsetzen, damit die folgende Zahl durch 9 teilbar ist: 1_67 ?

Die ersten fünf Vielfachen von 5 heißen:

Wähle alle Zahlen aus, die durch 6 teilbar sind:

Welche Antworten sind falsch? 51...

Ist diese Aussage Richtig oder Falsch: 5 | 35

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie..

336 hat den Teiler 3.

Wähle alle Zahlen aus, die nicht durch 9 teilbar sind:

Notiere die Teilermengen!
T49 = { ______ , ______ , ______ }

Wie lautet die größte 4-stellige Zahl, die durch 9 teilbar ist?

Nenne alle Primfaktoren von 30!

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die Einerstelle...

Primzahlen haben

Notiere den fehlenden Primfaktor.

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