Inhalt:
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48 : 6 = 8 | ⇔ | 48 = 6 . 8 | a : b = c | ⇔ | a = b . c |
48 : 5 = 9 Rest 3 | ⇔ | 48 = 5 . 9 + 3 | a : b = c Rest d | ⇔ | a = b . c + d (wobei d<b) |
Genau dann, wenn die Division zweier natürlicher Zahlen a : b den Rest 0 hat, sagt man:
"a ist ein Vielfaches von b" | oder | "a ist durch b teilbar" |
"b ist ein Teiler von a" | oder | "b ist in a enthalten" |
60 = 1 · 60 = 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = 5 · 12 = 6 · 10;
Die Teilermenge einer Zahl enthält alle ihre Teiler.
T60 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist. |
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. |
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 18 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 20 teilbar, |
Teilbarkeit durch 11: (alternierende Quersumme bilden)
1595: | 5+5=10; 1+9=10; 10=10 | ⇒ 1595 ist durch 11 teilbar |
108641973: | 3+9+4+8+1=25; 7+1+6+0=14; 25-14=11 | ⇒ 108641973 ist durch 11 teilbar |
1459: | 9+4=13; 5+1=6; 6≠13 | ⇒ 1459 ist nicht durch 11 teilbar |
Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Bsp: 60 = 6 ⋅10 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ergibt die
Primfaktorzerlegung: 60 = 22 · 3 · 5
Primfaktorzerlegung von 360
360 | = 2 · 180 |
| = 2 · 2 · 90 |
| = 2 · 2 · 2 · 45 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 15 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5 |
Beispiel: ggT(462,630) = ?
Primfaktorzerlegungen:
462 = 2 · 3 · 7 · 11 = 2 · 3 · 7 · 11
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7
ggT(462,630) = 2 · 3 · 7 = 42
Der ggT von natürlichen Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.
Ist der ggT zweier Zahlen 1, so heißen sie teilerfremd.
Beispiel: kgV(540,1320) = ?
Primfaktorzerlegungen:
540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 · 33 · 5
1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 = 23 · 3 · 5 · 11
kgV(540,1320) = 23 · 33 · 5 · 11 = 11 880
Das kgV von natürlichen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.
Beispielfragen:
Welche der folgenden Zahlen gehört zu den Primfaktoren der Zahl 12?
Schau dir das Lernvideo zum größten gemeinsamen Teiler (ggT) an.
Welche Vielfachmenge ist angegeben?
Gib die richtige Zahl an. Die Primfaktoren lauten:
2, 2, 3, 5
Welche einstelligen Zahlen sind Primzahlen ?
Welche Zahlen sind Teiler von 2345?
Klicke alle Zahlen an, die durch 3 teilbar sind:
Wähle alle Zahlen aus, die durch 2 teilbar sind:
Notiere die ersten vier Zahlen der Vielfachmenge!
V101 = { ______ , ______ , ______ , ______ , … }
Eine Zahl die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist eine Primzahl.
Welche Ziffer muss ich einsetzen, damit die folgende Zahl durch 9 teilbar ist: 1_67 ?
Die ersten fünf Vielfachen von 5 heißen:
Wähle alle Zahlen aus, die durch 6 teilbar sind:
Welche Antworten sind falsch? 51...
Ist diese Aussage Richtig oder Falsch: 5 | 35
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie..
336 hat den Teiler 3.
Wähle alle Zahlen aus, die nicht durch 9 teilbar sind:
Notiere die Teilermengen!
T49 = { ______ , ______ , ______ }
Wie lautet die größte 4-stellige Zahl, die durch 9 teilbar ist?
Nenne alle Primfaktoren von 30!
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die Einerstelle...
Primzahlen haben
Notiere den fehlenden Primfaktor.
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