Quadratische Funktionen und Gleichungen

Binomische Formeln

1.   (a + b)² = a² + 2ab + b²

2.   (a - b)² = a² - 2ab + b²

3.   (a + b) ∙ (a - b) = a² - b²

Die praktische Bedeutung besteht im Faktorisieren!

Beispiele:

Quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen der Art  ax² + bx + c = 0  mit a ≠ 0 heißen quadratische Gleichungen.

D = b² - 4ac   heißt Diskriminante.

D < 0   ⇒ es gibt keine Lösung der Gleichung

D = 0   ⇒ es gibt genau eine Lösung

D > 0   ⇒ es gibt zwei Lösungen:
                    Dies ist die Mitternachtsformel.

Beispiel:

In folgenden Sonderfällen ist es nicht sinnvoll, die Lösungsformel zu verwenden:

1.   b = 0          d.h. a x² + c = 0

In diesem Fall lässt sich die quadratische Gleichung in die reinquadratische Form x² = d bringen.

Beispiel: 

2.   c = 0          d.h. a x² + b x = 0

Wir klammern ax aus und erhalten  .

Beispiel: 

3.   x² + px + q = 0    mit p, q ϵ ℤ

Wenn es rationale Lösungen gibt, dann sind diese ganzzahlig und wir finden sie durch

Probieren, weil (x - m) ∙ (x - n) = x² - (m + n) ∙ x + m ∙ n

Beispiele: 

Quadratische Funktionen

Funktionen der Form

heißen quadratische Funktionen; ihre Graphen nennt man Parabeln.

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet

|a| < 1: Die Parabel ist weiter als die Normalparabel

|a| > 1: Die Parabel ist enger als die Normalparabel

Jede quadratische Funktion

lässt sich durch quadratische Ergänzung auf die Scheitelpunktform

mit Scheitelpunkt: S( -d / e )

bringen.

Normalparabel

Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung:

Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse

Verschiebungen in y- Richtung und in x- Richtung

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform  

f(x) = a⋅(x + s)² + t    ;      a, s, t ∈ℝ  a≠0

Liegt der Funktionsterm in Scheitelpunktform vor, so kann man direkt ablesen:

1. die Verschiebung der Normalparabel in x- Richtung um -s und in y- Richtung um +t.

damit ergeben sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S: S(-s,t)

2. Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse (je nach Wert des Faktors a)

3. die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt)

indirekt ergibt sich daraus

4. die Anzahl und Art der Nullstellen (x-Wert(e) mit dem y-Wert 0):

1.  eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt,
   der Graph schneidet die x-Achse nicht, sondern die x-Achse wird berührt,
2. zwei Nullstellen, wenn der SP oberhalb [unterhalb] der x-Achse liegt und ein HP [TP] ist,
   der Graph schneidet die x-Achse zweimal.
3. keine Nullstelle sonst,

Beispiele:

1)  f(x) = −2(x - 3)² + 4        S(3/4) ist Hochpunkt, Graph ist gestreckt, es gibt 2 Nullstellen.

2)  f(x) = 0,5(x + 2)²            S(-2/4) ist Tiefpunkt, Graph ist gestaucht, es gibt 1 Nullstelle.

3)  f(x) = −x² − 5                 S(0/-5) ist Hochpunkt, Graph ist wie Normalparabel,
                                                      es gibt keine Nullstellen.

Polynomform

Die Polynomform lautet:  f(x) = ax² + bx + c

Liegt der Funktionsterm in Polynomform vor, so kann man direkt ablesen:

1. Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse (je nach Wert des Faktors a)

2. die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt)

3. den y-Achsenabschnitt (y-Wert zum x-Wert 0) : Bei y=c wird die y-Achse geschnitten.

Da jede Polynomform mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umgewandelt werden kann, kann man indirekt auch erschließen:

4. den x-Wert des Scheitelpunktes: 

Beispiele:

1) f(x) = −2x² + 12x - 14     gespiegelt und gestreckt, S ist Hochpunkt.
                                          y-Achsenabschnitt : -14 ,  Scheitelpunkt an der Stelle x =+3

2)  gestaucht, S ist Tiefpunkt , y-Achsenabschnitt: +2,
                                                 Scheitelpunkt an der Stelle x =- 2.

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Von besonderem Interesse sind stets die Nullstellen von Funktionen. Aus der Polynomform lässt sich nur sehr schwer oder nur in besonders einfachen Fällen etwas über die Anzahl und die Art der Nullstellen direkt ablesen. auch aus der Scheitelpunktform lassen sich die Nullstellen nicht direkt ablesen. Die Nullstellen müssen berechnet werden. (mit der Mitternachtsformel bzw. p-q-Formel)

Allgemein kann hier über Nullstellen von quadratischen Funktionen aber festgehalten werden:

Satz:

Quadratische Funktionen haben

entweder       keine Nullstelle

oder               eine Nullstelle:         das ist der x-Wert des Scheitelpunktes, das bedeutet:
                                                       der Graph berührt die x-Achse in der Nullstelle/im Scheitelpunkt

oder               zwei Nullstellen:        das bedeutet: der Graph schneidet die x-Achse zweimal,
                                                        die Nullstellen liegen symmetrisch zum x-Wert des Scheitelpunktes.

Weitere Beispiele für quadratische Funktionen:

Berechnungen zu f4: