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Theorie lernen

Bruchterme und Bruchgleichungen

Bruchterme

Bruchterme sind z.B.:

 

Kürzen und Erweitern

Zähler und Nenner werden jeweils durch denselben Term dividiert, bzw. mit demselben Term multipliziert.

Beispiel für das Kürzen:

Addieren und Subtrahieren

Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.

Bruchterme mit verschiedenen Nennern müssen zunächst auf den gleichen Nenner („Hauptnenner“) gebracht werden.

Zahlenbeispiel:

Multiplizieren und Dividieren

Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.

Zahlenbeispiele:

 

Negative Exponenten

Mit der Definition  können auch negative Exponenten erlaubt werden.

Die Potenzgesetze  und  gelten für alle ganzen Zahlen m,n.

Beispiel:

Bruchgleichungen

Bruchgleichungen werden durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der vorkommenden

Nenner in nennerfreie Gleichungen umgeformt.

Zahlenbeispiel:

Gebrochen rationale Funktionen

Funktionen, bei denen x im Nenner vorkommt, heißen gebrochen rationale Funktionen.

Beispiele:   f(x)=23-x+1    ;      g(x)=3-2x2x-1   ;    f(x)=3-2x2x2+1

Zur Definitionsmenge können nur solche Zahlen gehören, für die der Nenner nicht Null wird.

Ein wichtiges Kennzeichen der Graphen gebrochen rationaler Funktionen sind die „Asymptoten“.

Eine Gerade heißt Asymptote des Graphen einer Funktion, wenn sie sich dem Funktionsgraphen beliebig genau annähert.

Auch senkrechte Geraden können Asymptoten sein, sie treten an den Lücken von Df auf

Beispiel:

f(x)=23-x+1;Df= ℚ\ {3}

Bruchterme und Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Bruchgleichungen erkennen

Bruchgleichungen lösen

Bruchterme

Definitionsmenge

gebrochen rationale Funktionen

Hauptnenner finden

Sonderfälle

Beispielfragen:

Lernvideo: Wie löst man Bruchgleichungen - Einführung

Welche Einsetzungen für x sind nicht erlaubt?

Löse die Bruchgleichung!

Welche Einsetzung für x ist nicht erlaubt?

Handelt es sich hier um eine Bruchgleichung?

Löse die Bruchgleichung!
9 : x = 3

Handelt es sich hier um eine Bruchgleichung?

Die Bruchgleichung ________________.

Löse die Bruchgleichung!

Die Bruchgleichung ________________.

Der gekürzte Bruchterm ist

Löse die Bruchgleichung!

Welche Einsetzungen für x sind nicht erlaubt?

Die Bruchgleichung ________________.

Löse die Bruchgleichung!

Löse die Bruchgleichung!

Gib den Hauptnenner an!

Die Bruchgleichung ________________.

Gib den Hauptnenner an!

Welche Umformung ist zur Auflösung der Gleichung nach x sinnvoll?