Gleichungen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

zur Frage

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

In mindestens einem Term muss eine Variable - meist x - vorkommen.

Kommt die Variable x nur in Form  vor, so spricht man von einer linearen Gleichung.

Beispiel:        2x + 10 = 4(x – 2) ist eine lineare Gleichung.

Eine Zahl oder eine Größe ist Lösung der Gleichung, wenn nach ihrem Einsetzen die Termwerte

auf den beiden Seiten gleich sind.

Beispiel:           ist eine Lösung der Gleichung , weil gilt:

linke Seite:        

rechte Seite:         

Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösungen nicht, lässt sich aber zum Vereinfachen der Gleichung verwenden.

Äquivalenzumformungen sind:

1. Termumformungen
2. Addition oder Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten
3. Multiplikation beider Seiten mit demselben (von 0 verschiedenen!) Term
4. Division beider Seiten durch denselben (von 0 verschiedenen!) Term

Beispiel:  

   2x ⋅(3x - 2) + 5        = 6x² - x - 7

       6x² - 4x + 5        = 6x² - x - 7        | -6x² + x - 5

    -3x                = -12                | : (-4)

       x                = 4

Auflösen von Klammern

zur Frage

Das Verfahren zur Auflösung von Klammern hängt vom Rechenzeichen ab, das vor der Klammer steht.

Pluszeichen: + ( ... )

Klammern, vor denen direkt ein Plus-Zeichen steht, können einfach weggelassen werden:

5x + (11 – 3x)

= 5x + 11 – 3x

Minuszeichen: – ( ... )

Klammern, vor denen ein Minus steht, werden so behandelt: Das Minuszeichen und die Klammern entfallen, dafür werden alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht.

1. Bsp.: 4x – (5 + 3x – 7y) = 4x – 5 – 3x + 7y = x + 7y – 5

2. Bsp.: 3x – 36 – (–x2 + 23 – 71x) = 3x – 36 + x2 – 23 + 71x = x2 + 74x - 59

3. Bsp.: –(4x – 4) – (–3x – 5) = –4x + 4 + 3x + 5 = –x + 9

Multiplikationszeichen: · ( ... ) oder nur Faktor

Steht vor der Klammer ein Faktor, so wird beim Auflösen der Klammer jeder Summand in der Klammer mit diesem Faktor multipliziert. Vorzeichenregeln sind dabei:

(+)·(+) = (+)

(+)·(–) = (–)

(–)·(+) = (–)

(–)·(–) = (+)

1. Bsp.: 5·(x – 2) = 5x – 10      (Der Multiplikations-Punkt kann entfallen)

2. Bsp.: –3(5x + 2y) = –15x – 6y

3. Bsp.: 4x(–2 + 3x) = –8x + 12x2

4. Bsp.: –17a(–2b + 3c – 1) = 34ab – 51ac + 17a

Klammer mal Klammer: ( ... ) · ( ... )

Beim Ausmultiplizieren zweier Klammern müssen alle Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden. Vorzeichen beachten!

1. Bsp.: (a + b)·(c + d) = ac + ad + bc + bd

2. Bsp.: (2 - 3x)(5x + 7) = 10x + 14 – 15x2 – 21x

3. Bsp.: (3a – 11b + 2)(5x – 7) = 15ax – 21a – 55bx + 77b + 10x – 14

4. Bsp.: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2    
          (1. binomische Formel)

5. Bsp.: (a - b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2    
          (2. binomische Formel)

6. Bsp.: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2    
          (3. binomische Formel)

Minusklammer mal Faktor oder Minusklammer mal Klammer

Hierbei empfiehlt sich die Anwendung der Regel "Punkt- vor Strichrechnung", d.h. es wird zuerst multipliziert und dann erst subtrahiert. Dazu muss jedoch der gesamte Multiplikationsausdruck in Klammern gesetzt werden, denn der Gültigkeitsbereich des Minuszeichens muss ja erhalten bleiben:

1. Bsp.: –(3 + x)·2 = –[(3 + x)·2)] = –[6 + 2x] = –6 – 2x

2. Bsp.: 2x – (3x – 1)(2 + y) = 2x – [(3x – 1)(2 + y)] = 2x – (6x + 3xy – 2 – y) = 2x – 6x – 3xy + 2 + y = –4x – 3xy + y + 2

Binomische Formeln

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1. Binomische Formel:   (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ausdrücke der Form (a + b)² kann man auflösen, ohne das Quadrat auszuschreiben: (a + b)(a + b), auszumultiplizuieren: a² + ab + ab + b² und zusammenzufassen: a² + 2ab + b², wenn man das zusammengefasste Ergebnis a² + 2ab + b² kennt und auf die Summanden in der Klammer anwendet:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a steht dabei für den ersten Summanden in der Klammer und b für den zweiten.

1. Bsp.: (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 9 = x² + 6x + 9

2. Bsp.: (2a + 5bx)² = 4a² + 20abx + 25b²x²

2. Binomische Formel:   (a — b)² = a² - 2ab + b²

Hier ergibt das Ausmultiplizieren von (a - b)(a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

Auch das kann als Blaupause zum direkten Auflösen der Quadratklammer verwendet werden.

1. Bsp.: (3p — q)² = 9p² — 6pq + q²

2. Bsp.: (7x³ - 3xyz)² = 49x6 - 42x4yz + 9x²y²z²

3. Binomische Formel:   (a + b)(a — b) = a² - b²

Beim Ausmultiplizieren und Zusammenfassen stellt sich heraus, dass in diesem Fall der nichtquadratische Summand verschwindet: (a + b)(a — b) = a² - ab + ab - b² = a² - b².

1. Bsp.: (3x + 0,5)(3x — 0,5) = 9x² - 0,25

2. Bsp.: (6a — 2b)(2b + 6a) = 36a² - 4b²

Im 2. Beispiel wurde das Kommutativgesetz zweimal angewendet: Die Klammer mit dem Minus steht vorne (Multiplikation ist kommutativ) und die Summanden in der zweiten Klammer sind vertauscht (Addition ist kommutativ). Beachte, dass sich die Reihenfolge im Ergebnis nach der Klammer mit dem Minus richtet!