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48 : 6 = 8 | ⇔ | 48 = 6 . 8 | a : b = c | ⇔ | a = b . c |
48 : 5 = 9 Rest 3 | ⇔ | 48 = 5 . 9 + 3 | a : b = c Rest d | ⇔ | a = b . c + d (wobei d<b) |
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Genau dann, wenn die Division zweier natürlicher Zahlen a : b den Rest 0 hat, sagt man:
"a ist ein Vielfaches von b" | oder | "a ist durch b teilbar" |
"b ist ein Teiler von a" | oder | "b ist in a enthalten" |
60 = 1 · 60 = 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = 5 · 12 = 6 · 10;
Die Teilermenge einer Zahl enthält alle ihre Teiler.
T60 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }
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Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist. |
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. |
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 18 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 20 teilbar, |
Teilbarkeit durch 11: (alternierende Quersumme bilden)
1595: | 5+5=10; 1+9=10; 10=10 | ⇒ 1595 ist durch 11 teilbar |
108641973: | 3+9+4+8+1=25; 7+1+6+0=14; 25-14=11 | ⇒ 108641973 ist durch 11 teilbar |
1459: | 9+4=13; 5+1=6; 6≠13 | ⇒ 1459 ist nicht durch 11 teilbar |
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Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
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Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Bsp: 60 = 6 ⋅10 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ergibt die
Primfaktorzerlegung: 60 = 22 · 3 · 5
Primfaktorzerlegung von 360
360 | = 2 · 180 |
| = 2 · 2 · 90 |
| = 2 · 2 · 2 · 45 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 15 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5 |
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Beispiel: ggT(462,630) = ?
Primfaktorzerlegungen:
462 = 2 · 3 · 7 · 11 = 2 · 3 · 7 · 11
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7
ggT(462,630) = 2 · 3 · 7 = 42
Der ggT von natürlichen Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.
Ist der ggT zweier Zahlen 1, so heißen sie teilerfremd.
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Beispiel: kgV(540,1320) = ?
Primfaktorzerlegungen:
540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 · 33 · 5
1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 = 23 · 3 · 5 · 11
kgV(540,1320) = 23 · 33 · 5 · 11 = 11 880
Das kgV von natürlichen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.
Beispielfragen:
Wieviel Vielfache hat die Zahl 11?
Schau dir das Lernvideo zum größten gemeinsamen Teiler (ggT) an.
Für was steht kgv und ggt?
Welche der folgenden Zahlen gehört zu den Primfaktoren der Zahl 60?
Welche Zahl zwischen 70 und 80 ist durch 3 und durch 4 teilbar?
Ist 1 eine Primzahl?
Die Teiler von 23 heißen:
Nenne alle Primfaktoren von 30!
336 hat den Teiler 3.
32536465 ist durch 25 teilbar.
Eine natürliche Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre ___________ durch 9 teilbar ist.
Ist diese Aussage Richtig oder Falsch?
kgV (12, 15) =
Primzahlen - Ordne zu!
ggT (110, 250) =
Eine Zahl ist durch __ teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
Welche zweistellige Zahl zwischen 40 und 50 ist durch 3 und durch 7 teilbar?
Wie heißt der kleinste Primfaktor in der Zerlegung von 105?
Welche Zahlen sind Teiler von 2345?
Ist 87 ein Teiler von einer Zahl a,
so ist a ein Vielfaches von 29.
Eine Zahl ist durch __ teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist.
kgV (20, 30) =
Welche der folgenden Zahlen sind prim?
Wieviel Teiler hat die Zahl 10?
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