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zur Frage
Sinus und Kosinus lassen sich auch für beliebige Winkel α definieren.
Für den Punkt P(x;y) auf dem Einheitskreis gilt:
sin α = y = „Hochwert“ ; cos α = x = „Rechtswert“
Die wichtigsten Formeln für den Zusammenhang zwischen den Sinus- und Kosinuswerten für α und 180°-α ; α und 360°-α ; α und 180°+α lassen sich durch Spiegelungen an der Hochachse, an der Rechtsachse bzw. am Ursprung erkennen.
α ist nicht auf den Bereich 0° ≤ α ≤ 360° bzw. 0 ≤ αb ≤ 2π bzw. 0 ≤ x ≤ 2π beschränkt.
Dabei gilt für jede ganze Zahl k:
sin(α + k ×360°) = sin α bzw. sin(x + k ⋅ 2π) = sin x
cos(α + k ×360°) = cos α bzw. cos(x + k ⋅ 2π) = cos x
Die bisher nur für den Sonderfall 0° ≤ α ≤ 90° gültigen Formeln gelten nun für alle Winkel α.
zur Frage
Verwendet man für den Winkel das Bogenmaß x, so sind die Sinus- und Kosinusfunktion periodisch mit der Periode 2π .
Für beide gilt:
Definitionsmenge D = IR und
Wertemenge W = [-1 ; 1] .
Die allgemeine Sinusfunktion
mit a ≠ 0 ; b > 0 lässt sich als abgewandelte Sinusfunktion deuten:
a bestimmt die Dehnung in y-Richtung
b bestimmt die Stauchung in x-Richtung
Beispiel:
Beispielfragen:
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅sin(x) + b
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅cos(x) + b
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅cos(x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅cos(x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Welche Größe ist hier rosa dargestellt?
Welche Größe ist hier blau dargestellt?
Welche Größe ist hier rot dargestellt?
Welchen Wert hat x?
Welche Größe ist hier am Einheitskreis grün hervorgehoben?
Welche Größe ist hier am Einheitskreis rot hervorgehoben?
Die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion heißt Arkuskosinusfunktion (cos-1).
Sie ordnet dem Seitenverhältnis Ankathete/Gegenkathete den zugehörigen Winkel x zu.
In einem rechtwinkligen Dreieck ordnet die Tangensfunktion (tan) jedem Winkel x, das nebenstehende Seitenverhältnis zu.
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = sin(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = tan(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = tan(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = tan(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = sin(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = sin(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = sin(a⋅x)
Welchen Wert hat der Parameter a?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = sin(x + c)
Welchen Wert hat der Parameter c?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = cos(x + c)
Welchen Wert hat der Parameter c?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅cos(x) + b
Welchen Wert haben die Parameter a und b?
Der blaue Graph gehört zu einer Funktion vom Typ
y = a⋅sin(x) + b
Welchen Wert haben die Parameter a und b?
sin(180°) = ____
