Ganzrationale Funktionen

Potenzfunktionen

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Funktionen der Form

nennt man Potenzfunktionen (n-ten Grades).

Im Sonderfall a = 1 gilt:

Polynome und ganzrationale Funktionen

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Ein Term der Art     p(x) = - 3x7 + 2x5 + 0,67x4 - 2x3 - x +1     heißt Polynom.

Der „Grad des Polynoms“ ist der höchste vorkommende Exponent.

Beispiel: 

p(x) = - 3x7 + 2x5 + 0,67x4 - 2x3 - x +1 hat den Grad 7.

Die Funktion    p: x ↦ p(x)     heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Ist a eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n, dann lässt sich f(x) in der Form

f(x) = (x - a) ∙ g(x)   schreiben, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n-1 ist.

g(x) erhält man durch Polynomdivision.

Zahlenbeispiel:

f(x) = x3 + 5x2 + 7 x + 2   hat bei   x = -2   eine Nullstelle.

Also gilt    f(x) = x3 + 5x2 + 7 x + 2 = ( x + 2 ) ∙ g(x)

g(x) wird durch folgende Rechnung ermittelt:

Nach dieser Methode lässt sich ein Polynom vollständig faktorisieren.

Zahlenbeispiel:

Das vollständig faktorisierte Polynom   f(x) = (x -1)3 ∙ (x + 4)2 ∙ (x - 7) ∙ (x2 + 2)   hat die dreifache Nullstelle   x1 = +1   , die doppelte Nullstelle   x2 = -4  
und die einfache Nullstelle   x3 = +7 .

Funktion und Graph

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Verschieben von Funktionsgraphen

fneu (x) = f (x + a) + b

Der Graph von f wird um –a in x-Richtung und um b in y-Richtung verschoben.

Beispiel:

Strecken von Funktionsgraphen

fneu (x) = k ∙ f (x)  , wobei k > 0

Der Graph von f wird y-Richtung mit dem Faktor k gestreckt.

fneu (x) = f (k ∙ x)  , wobei k > 0

Der Graph von f wird x-Richtung mit dem Faktor k gestreckt.

Beispiel:

Spiegeln von Funktionsgraphen

fneu (x) = - f (x)       : der Graph wird an der x-Achse gespiegelt.

fneu (x) =   f (-x)       : der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.

Symmetrieuntersuchungen

f (-x) = f (x)      für alle x ∈ Df    ⇒  Gf  ist symmetrisch zur Achse

f (-x) = - f (x)    für alle x ∈ Df    ⇒  Gf  ist symmetrisch zum Koordinatenursprung

Grenzwerte im Unendlichen

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Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einer

Zahl a beliebig nahe, so sagt man „f hat für x gegen +∞  den Grenzwert a“ und man schreibt:

Entsprechend ist  definiert.